ibNul MasJid

Kamis, 02 Desember 2010

pengenalan internet

A. Pengertian Internet

Internet merupakan jaringan global komputer dunia, besar dan sangat luas sekali dimana setiap komputer saling terhubung satu sama lainnya dari negara ke negara lainnya di seluruh dunia dan berisi berbagai macam informasi, mulai dari text, gambar, audio, video, dan lainnya.

Internet itu sendiri berasal dari kata Interconnection Networking, yang berarti hubungan dari banyak jaringan komputer dengan berbagai tipe dan jenis, dengan menggunakan tipe komunikasi seperti telepon, salelit, dan lainnya.

Dalam mengatur integrasi dan komunikasi jaringan komputer ini menggunakan protokol yaitu TCP/IP. TCP (Transmission Control Protocol) bertugas untuk memastikan bahwa semua hubungan bekerja dengan benar, sedangkan IP (Internet Protocol) yang mentransmisikan data dari satu komputer ke komputer lain.

TPC/IP secara umum berfungsi memilih rute terbaik transmisi data, memilih rute alternatif jika suatu rute tidak dapat di gunakan, mengatur dan mengirimkan paket-paket pengiriman data.

Untuk dapat ikut serta menggunakan fasilitas Internet, Anda harus berlangganan ke salah satu ISP (Internet Service Provider) yang ada dan melayani daerah Anda. ISP ini biasanya disebut penyelenggara jasa internet. Anda bisa menggunakan fasilitas dari Telkom seperti Telkomnet Instan, speedy dan juga layanan ISP lain seperti first media, netzip dan sebagainya.

Internet memberikan banyak sekali manfaat, ada yang bisa memberikan manfaat baik dan buruk. Baik bila digunakan untuk pembelajaran informasi dan buruk bila digunakan untuk hal yang berbau pornografi, informasi kekerasan, dan lain-lainnya yang negatif.

Internet ini memungkinkan pengguna komputer di seluruh dunia untuk saling berkomunikasi dan berbagi informasi dengan cara saling mengirimkan email, menghubungkan komputer satu ke ke komputer yang lain, mengirim dan menerima file dalam bentuk text, audio, video, membahas topik tertentu pada newsgroup, website social networking dan lain-lain.

B. Sejarah Internet dan Perkembangan Internet

Teknologi Informasi dan Telekomunikasi (Information and Communication Technology/ICT) merupakan tulang punggung aplikasi Web 2.0. Perkembangan Teknologi Informasi dan Komunikasi yang fenomenal dan menjadi awal munculnya aplikasi web adalah Internet. Internet yang berawal dari riset untuk pertahanan dan keamanan serta pendidikan berkembang menjadi perangkat pendukung bisnis yang sangat berpengaruh. Dalam kaitan dengan aplikasi Web 2.0 ini, terdapat beberapa peristiwa penting dalam sejarah internet.

Berawal pada tahun 1957, melalui Advanced Research Projects Agency (ARPA), Amerika Serikat bertekad mengembangkan jaringan komunikasi terintegrasi yang saling menghubungkan komunitas sains dan keperluan militer. Hal ini dilatarbelakangi oleh terjadinya perang dingin antara Amerika Serikat dengan Uni Soviet (tahun 1957 Soviet meluncurkan sputnik)

Perkembangan besar Internet pertama adalah penemuan terpenting ARPA yaitu packet switching pada tahun 1960. Packet switching adalah pengiriman pesan yang dapat dipecah dalam paket-paket kecil yang masing-masing paketnya dapat melalui berbagai alternatif jalur jika salahsatu jalur rusak untuk mencapai tujuan yang telah ditentukan. Packet switching juga memungkinkan jaringan dapat digunakan secara bersamaan untuk melakukan banyak koneksi, berbeda dengan jalur telepon yang memerlukan jalur khusus untuk melakukan koneksi. Maka ketika ARPANET menjadi jaringan komputer nasional di Amerika Serikat pada 1969, packet switching digunakan secara menyeluruh sebagai metode komunikasinya menggantikan circuit switching yang digunakan pada sambungan telepon publik.

Perkembangan besar Internet kedua yang dicatat pada sejarah internet adalah pengembangan lapisan protokol jaringan yang terkenal karena paling banyak digunakan sekarang yaitu TCP/IP (Transmission Control Protocol/ Internet Protocol). Protokol adalah suatu kumpulan aturan untuk berhubungan antarjaringan. Protokol ini dikembangkan oleh Robert Kahn dan Vinton Cerf pada tahun 1974. Dengan protokol yang standar dan disepakati secara luas, maka jaringan lokal yang tersebar di berbagai tempat dapat saling terhubung membentuk jaringan raksasa bahkan sekarang ini menjangkau seluruh dunia. Jaringan dengan menggunakan protokol internet inilah yang sering disebut sebagai jaringan internet.

Jaringan ARPANET menjadi semakin besar sejak saat itu dan mulai dikelola oleh pihak swasta pada tahun 1984, maka semakin banyak universitas tergabung dan mulailah perusahaan komersial masuk. Protokol TCP/IP menjadi protokol umum yang disepakati sehingga dapat saling berkomunikasi pada jaringan internet ini.

Perkembangan besar Internet ketiga adalah terbangunnya aplikasi World Wide Web pada tahun 1990 oleh Tim Berners-Lee. Aplikasi World Wide Web (WWW) ini menjadi konten yang dinanti semua pengguna internet. WWW membuat semua pengguna dapat saling berbagi bermacam-macam aplikasi dan konten, serta saling mengaitkan materi-materi yang tersebar di internet. Sejak saat itu pertumbuhan pengguna internet meroket.

C. Pengaruh Perkembangan Internet

Internet telah membuat revolusi baru dalam dunia komputer dan dunia komunikasi yang tidak pernah diduga sebelumnya. Beberapa Penemuan telegram, telepon, radio, dan komputer merupakan rangkaian kerja ilmiah yang menuntun menuju terciptanya Internet yang lebih terintegrasi dan lebih berkemampuan dari pada alat-alat tersebut. Internet memiliki kemampuan penyiaran ke seluruh dunia, memiliki mekanisme diseminasi informasi, dan sebagai media untuk berkolaborasi dan berinteraksi antara individu dengan komputernya tanpa dibatasi oleh kondisi geografis.

Internet merupakan sebuah contoh paling sukses dari usaha investasi yang tak pernah henti dan komitmen untuk melakukan riset berikut pengembangan infrastruktur teknologi informasi. Dimulai dengan penelitian packet switching (paket pensaklaran), pemerintah, industri dan para civitas academica telah bekerjasama berupaya mengubah dan menciptakan teknologi baru yang menarik

Perkembangan Sejarah intenet dapat dibagi dalam empat aspek yaitu

1. Adanya aspek evolusi teknologi yang dimulai dari riset packet switching (paket pensaklaran) ARPANET (berikut teknologi perlengkapannya) yang pada saat itu dilakukan riset lanjutan untuk mengembangkan wawasan terhadap infrastruktur komunikasi data yang meliputi beberapa dimensi seperti skala,performannce/kehandalan, dan kefungsian tingkat tinggi.

2. Adanya aspek pelaksanaan dan pengelolaan sebuah infrastruktur yang global dan kompleks.

3. Adanya aspek sosial yang dihasilkan dalam sebuah komunitas masyarakat besar yang terdiri dari para Internauts yang bekerjasama membuat dan mengembangkan terus teknologi ini.

4. Adanya aspek komersial yang dihasilkan dalam sebuah perubahan ekstrim namun efektif dari sebuah penelitian yang mengakibatkan terbentuknya sebuah infrastruktur informasi yang besar dan berguna. Internet sekarang sudah merupakan sebuah infrastruktur informasi global (widespread information infrastructure), yang awalnya disebut “the National (atau Global atau Galactic) Information Infrastructure” di Amerika Serikat. Sejarahnya sangat kompleks dan mencakup banyak aspek seperti teknologi, organisasi, dan komunitas. Dan pengaruhnya tidak hanya terhadap bidang teknik komunikasi komputer saja tetapi juga berpengaruh kepada masalah sosial seperti yang sekarang kita lakukan yaitu kita banyak mempergunakan alat-alat bantu on line untuk mencapai.

Sejarah dari adanya intenet dimulai pada tahun 1969 ketika itu Departemen Pertahanan Amerika, U.S. Defense Advanced Research Projects Agency(DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana cara menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik.

Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 1970, sudah lebih dari 10 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan.

Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program e-mail yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program e-mail ini begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama, icon @juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan “at” atau “pada”. Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai dikembangkan ke luar Amerika Serikat.

Komputer University College di London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang menjadi anggota jaringan Arpanet. Pada tahun yang sama, dua orang ahli komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex.

Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu Inggris berhasil mengirimkan e-mail dari Royal Signals and Radar Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 100 komputer yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan atau network. Pada 1979, Tom Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa saling menelpon sambil berhubungan dengan video link.

Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris, Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa e-mail dan newsgroup USENET.

Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal dengan DNS atau Domain Name System. Komputer yang tersambung dengan jaringan yang ada sudah melebihi 1000 komputer lebih. Pada 1987 jumlah komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 10 kali lipat manjadi 10.000 lebih.

Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 10 kali lipat dalam setahun. Tak kurang dari 100.000 komputer kini membentuk sebuah jaringan. Tahun 1990 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu. Program inilah yang disebut www, atau Worl Wide Web.

Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah surfing the internet. Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3000 alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo! didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.0.

persamaan linier dan matrik

A. Persamaan Linear & Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

$\begin{bmatrix}3 & 4 & -2 & 5\\1 & -5 & 2 & 7\\2 & 1 & -3 & 9\\\end{bmatrix}$

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

A.1 Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

A.1.1 Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1

$\begin{bmatrix}1 & 4 & -2 & 5\\0 & -5 & 2 & 7\\0 & 0 & -3 & 9\\0 & 0 & -8 & 8\\\end{bmatrix}$

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

$\begin{bmatrix}1 & 4 & -2 & 5\\0 & -5 & 2 & 7\\0 & 0 & -3 & 9\\0 & 0 & 0 & 0\\\end{bmatrix}$

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

$\begin{bmatrix}1 & 4 & -2 & 5\\0 & 1 & 2 & 7\\0 & 0 & -3 & 9\\0 & 0 & 0 & 0\\\end{bmatrix}$

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 5\\0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 6\\\end{bmatrix}$

A.1.2. Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 6\\1 & 3 & 2 & 9\\2 & 1 & 2 & 12\\\end{bmatrix}$

Operasikan Matriks tersebut

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 6\\0 & 1 & 1 & 3\\2 & 1 & 2 & 12\\\end{bmatrix}$ Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 6\\0 & 1 & 1 & 3\\0 & -3 & 0 & 0\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 6\\0 & 1 & 1 & 3\\0 & 0 & 3 & 9\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 6\\0 & 1 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 3\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

A.1.3. Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 3

2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\2 & 3 & 2 & 3\\2 & 1 & 2 & 5\\\end{bmatrix}$

Operasikan Matriks tersebut

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & -1 & -4 & -3\\2 & 1 & 2 & 5\\\end{bmatrix}$ Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & -1 & -4 & -3\\0 & -3 & -4 & -1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & -1 & -4 & -3\\0 & 0 & 8 & 8\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & 1 & 4 & 3\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

A.2. Operasi Dalam Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n dimana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj

A.3. Matriks Balikan (Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A ^{− 1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B ^{− 1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = $\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

$A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\-\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\\end{bmatrix}$

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1}

Contoh 1:

Matriks

A = $\begin{bmatrix}2 & -5 \\-1 & 3 \\\end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix}2 & -5 \\-1 & 3 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

BA = $\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2 & -5 \\-1 & 3 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa B = A ^{− 1} (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:

Matriks

A = $\begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \\\end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix}2 & 5 \\3 & 4 \\\end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2 & 5 \\3 & 4 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}3 & 4 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$

BA = $\begin{bmatrix}2 & 5 \\3 & 4 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}17 & 21 \\15 & 19 \\\end{bmatrix}$

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:

Matriks

A = $\begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & 2 \\\end{bmatrix}$

Tentukan Nilai dari A^-1

Jawab:

$A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}2 & -1 \\-5 & 3 \\\end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix}2 & -1 \\-5 & 3 \\\end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix}2 & -1 \\-5 & 3 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 \\-5 & 3 \\\end{bmatrix}$

Contoh 4:

Matriks

A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \\\end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix}3 & 2 \\2 & 2 \\\end{bmatrix}$ , AB = $\begin{bmatrix}7 & 6 \\9 & 8 \\\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

$A^{-1} = \begin{bmatrix}3 & -2 \\-1 & 1 \\\end{bmatrix}$ , $B^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\-1 & \frac{3} {2} \\\end{bmatrix}$ , $(AB)^{-1} = \begin{bmatrix}4 & -3 \\-\frac{9} {2} & 8 \\\end{bmatrix}$

Maka

$B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix}1 & -1 \\-1 & \frac{3} {2} \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}3 & -2 \\-1 & 1 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}4 & -3 \\-\frac{9} {2} & 8 \\\end{bmatrix}$

Ini membuktikan bahwa (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1}

A.4. Transpose Matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

Matriks

A = $\begin{bmatrix}2 & -5 & 1\\-1 & 3 & 3\\5 & 4 & 8\\\end{bmatrix}$ ditranspose menjadi A^T = $\begin{bmatrix}2 & -1 & 5\\-5 & 3 & 4\\1 & 3 & 8\\\end{bmatrix}$

Matriks

B = $\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 & 7\\9 & 5 & 7 & 4\\4 & 1 & 5 & 3\\\end{bmatrix}$ ditranspose menjadi B^T = $\begin{bmatrix}1 & 9 & 4\\3 & 5 & 1\\5 & 7 & 5\\7 & 4 & 3\\\end{bmatrix}$

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. ((A)^T)^T = A

2. (A + B)^T = A^T + B^T dan (A − B)^T = A^T − B^T

3. (kA)^T = kA^T dimana k adalah skalar

4. (AB)^T = B^TA^T

A.5.Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

A.5.1Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :

$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -5\\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -5 & 0\\0 & 0 & 1\\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{bmatrix}$

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

$\begin{bmatrix}d_1 & 0 & \cdots & 0\\0 & d_2 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots\\0 & 0 & \cdots & d_n\\\end{bmatrix}$

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

D ^{− 1}= $\begin{bmatrix}1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots\\0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\\end{bmatrix}$

DD ^{− 1} = D ^{− 1}D = I

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

D^k= $\begin{bmatrix}d_1^k & 0 & \cdots & 0\\0 & d_2^k & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots\\0 & 0 & \cdots & d_n^k\\\end{bmatrix}$

Contoh :

A= $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -3 & 0\\0 & 0 & 2\\\end{bmatrix}$

maka

A⁵= $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -243 & 0\\0 & 0 & 32\\\end{bmatrix}$

A.5.2 Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga

$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\0 & 0 & 0 & a_{44}\\\end{bmatrix}$

Matriks segitiga bawah

$\begin{bmatrix}a_{11} & 0 & 0 & 0\\a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\\end{bmatrix}$

Teorema

Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh :

Matriks segitiga yang bisa di invers

A = $\begin{bmatrix}1 & 3 & -1\\0 & 2 & 4\\0 & 0 & 5\\\end{bmatrix}$

Inversnya adalah

A ^{− 1}= $\begin{bmatrix}1 & -3/2 & 7/5\\0 & 1/2 & -2/5\\0 & 0 & 1/5\\\end{bmatrix}$

Matriks yang tidak bisa di invers

B = $\begin{bmatrix}3 & -2 & 2\\0 & 0 & -1\\0 & 0 & 1\\\end{bmatrix}$

A.5.3 Matriks Simetris

Matriks kotak A disebut simetris jika A = A^T

Contoh matriks simetris

$\begin{bmatrix}7 & -3 \\-3 & 5 \\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\4 & -3 & 0\\5 & 0 & 7\\\end{bmatrix}$

Teorema

Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka

A^T adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)^T = B^TA^T = BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A ^{− 1} adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = A^T maka :

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1} = A ^{− 1}

Yang mana membuktikan bahwa A ^{− 1} adalah simetris.

Produk AA^T dan A^TA

(AA^T)^T = (A^T)^TA^T = AA^T dan (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA

Contoh

A adalah matriks 2 X 3

A = $\begin{bmatrix}1 & -2 & 4\\3 & 0 & -5\\\end{bmatrix}$

lalu

A^TA = $\begin{bmatrix}1 & 3 \\-2 & 0\\4 & -5 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & -2 & 4\\3 & 0 & -5\\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}10 & -2 & 11\\-2 & 4 & -8\\-11 & -8 & 41\\\end{bmatrix}$

AA^T = $\begin{bmatrix}1 & -2 & 4\\3 & 0 & -5\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 3 \\-2 & 0\\4 & -5 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}21 & -17 \\-17 & 34\\\end{bmatrix}$

Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AA^T dan A^TA juga bisa di inverse

B. Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2x2

A = $\begin{bmatrix} a & b\\c & d\\\end{bmatrix}$ tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

B.1 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

B.1.1. Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = $\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix}$ tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a₁₁

M₁₁ = $\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix}$ = detM = a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

Kemudian kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C_ij=±M_ij untuk membedakan apakah kofaktor pada _ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

$\begin{bmatrix}+&-&+&-&+&\cdots\\-&+&-&+&-&\cdots\\+&-&+&-&+&\cdots\\-&+&-&+&-&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\\end{bmatrix}$

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

M₃₂ = $\begin{bmatrix}a_{11} & a_{13}\\a_{21} & a_{23}\\\end{bmatrix}$ = detM = a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

B.1.2Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A = $\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix}$

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ $\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix}$ - a₁₂ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\\\end{bmatrix}$ + a₁₃ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\\\end{bmatrix}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 4\\3 & 2 & 1\\\end{bmatrix}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Jawab:

det(A) = $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 4\\3 & 2 & 1\\\end{bmatrix}$ = 1 $\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}$ - 2 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

B.1.3Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A = $\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix}$

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ $\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix}$ - a₂₁ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\\\end{bmatrix}$ + a₃₁ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\\\end{bmatrix}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 4\\3 & 2 & 1\\\end{bmatrix}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

Jawab:

det(A) = $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 4\\3 & 2 & 1\\\end{bmatrix}$ = 1 $\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}$ - 4 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

B.1.4 Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3x3

A = $\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}$

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

$\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}$

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}$

B1.5 Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

$det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

Contoh

$\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$ = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

B.1.6Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

$X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}$

dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A = $\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\-3 & 4 & 6\\-1 & -2 & 3\\\end{bmatrix}$ b = $\begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}$

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = $\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₂ = $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}$

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

B.1.7 Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,...,E_r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,

R=E_r...E₂ E₁ A

dan,

det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A= $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\\end{bmatrix}$

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

B.2 Mencari determinan dengan cara Sarrus

A = $\begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\\ \end{bmatrix}$ tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

B.3 Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

B.4 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A = $\begin{bmatrix} 3 & 2 & -1\\ 1 & 6 & 3\\ 2 & -4 & 0\\\end{bmatrix}$

kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

menjadi matrix kofaktor

$\begin{bmatrix} 12 & 6 & -16\\ 4 & 2 & 16\\ 12 & -10 & 16\\\end{bmatrix}$

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\-16 & 16 & 16\\\end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)$

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

det(A) = 64

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\-16 & 16 & 16\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\-\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\\end{bmatrix}$

B.5 Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

Ax = λx ; dimana λ adalah skalar

sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi

(λI - A) x = 0

contoh:

diketahui persamaan linear

x₁ + 3x₂ = λx₁

4x₁ + 2x₂ = λx₂

dapat ditulis dalam bentuk

$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$ = λ $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat diubah

A = $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ dan x = $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

λ $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

sehingga didapat bentuk

λ I - A = $\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) = $\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$ = 0

atau λ^2 - 3λ - 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂ = 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

$\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁ = t

x = $\begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix}$